אלוהים מדבר מתמטיקה – פרק 2

אלוהים מדבר מתמטיקה – פרק ב' – "צירוף מקרים הינו הדרך של אלוהים להישאר אנונימי"

לאחר שראינו בעצמנו שהתנ"ך מכיל מתמטיקה, לפחות קצת, הגיע הזמן להמשיך ולחקור אותו קצת יותר, אך לפני כן, אצרף קצת מידע נוסף על תורת המספרים:

בפרק הקודם דיברנו על מספרים משוכללים, מספרים שסכום מחלקיהם שווה לעצמו. כעת אבקש ללכת צעד אחורה, ולדבר על מספרים ידידים: זוג מספרים כאשר סכום מחלקיו של כל אחד שווה לשני. כך למשל, המספר 220 ידידותי למספר 284, מכיוון שהם מקיימים את התנאי: מחלקיו של 220 הם 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 ו-110 וסכומם הוא 284. מחלקיו של 284 הם 1, 2, 4, 71 ו-142, שסכומם 220.
בעבר נמכרו קמאות שעל כל אחד מהם אחד ממספרים אלו, ועל תאומו המספר השני, על מנת להנציח אהבה.
זוגות נוספים המקיימים תנאי כזה הם 1,210 ו – 1,184, הזוג: 17,296 ו – 18,416 ועוד רבים. כיום ידועים כמעט שנים עשר מיליון זוגות שכאלו.
כלומר, מספרים משוכללים הם מקרה פרטי של מספרים ידידותיים, אשר סכום מחלקיו שווה לעצמו, כלומר, כל מספר משוכלל ידידותי לעצמו.

בתנ"ך גם למספרים ידידותיים ישנה משמעות: יעקב הביא לעשו כמתנה מתאיים ועשרים צאן, אך עשו לא החזיר לו דבר.
כפי שאמרנו, 220 הינו מספר ידידותי, אך כיצד ייתכן שיעקב הביא לעשו דווקא 220 בני צאן, ולא מספר עגול יותר, כפי שראוי בתנ"ך? הרי מקריאה כללית בתנ"ך קל לראות שהמספרים שלמים ועגולים למדיי: דוד כרת מתאיים עורלות פלשתים, המבול נמשך ארבעים יום, ויעקב הביא לעשו דווקא 220 בני צאן, ועוד לאחיו אותו אהב, והוא לא החזיר לו אהבה.
האם הסופר המקראי ידע מתמטיקה? סביר להניח שכן, הוא ידע. וגם אם לא, הוא הדגיש כי המספר היה 220 בני צאן. מדוע, אם כך? אחרי הכל, לא סביר שלשלמה המלך היו אלף נשים בדיוק. המספר עגול מידי מכדי להיות מציאותי.
סביר להניח שהייתה לו כמות רבה, והסופר המקראי, כמו בכל יצירה ספרותית אחרת, השתמש באמצעי העיצוב הנקרא "הגזמה".
הרי ידוע שחזקותיו של עשר הן מספרים טיפולוגיים בתנ"ך, כמו 12, 3, 7, 40 ועוד.
מטרתם של מספרים טיפולוגיים היא לקשר בין אירועים, להדגיש חשיבות של אירוע וגם לתאר כמות רבה.
אחרי הכל, האם ייתכן שבני ישראל נדדו 40 שנה, המבול התקיים 40 יום ו – 40 לילה ועוד ועוד וכל כך הרבה שימוש במספר 40… האם זה לגיטימי בכלל?
בוודאי שכן, אחרי הכל, מדובר בסיפורי המקרא, אותם סיפורים העוברים מדור לדור.
יהיו כאלו, בוודאי, שיאמרו לי שאכן 40 הינו המספר המדויק. לא בשביל וויכוחים אלו כתבתי את הספר הזה. אני מאמין כי יש להדגיש את העובדה שאם מופיע מספר שאינו טיפולוגי, יש להדליק מנורה אדומה ולחקור היטב את טבעו.

יש שיטענו שהופעת המספר שש בשלל מקומות היא צירוף מקרים בלבד, אחרי הכל, מדוע מחשיבים דווקא את שש למספר מושלם? הרי התכונות הללו שנקבעו לו אינן מיוחדות לאלו שאינם מתעסקים במתמטיקה.
אחרי הכל, מדוע שסכום המחברים יקבע שלמות של מספר? הרי לרוב יענו אנשים כי 100 הרבה יותר מושלם מ – 6.
סמל הלוטו הוא 777, לא 666, אחרי הכל, 666 נחשב למספר שטני ומרושע, אך אם תשאלו מתמטיקאי בנפש, הוא יענה לכם כי מדובר במכפלת של פלינדרום במספר מושלם (111*6).

אז האם מדובר בצירוף מקרים?
בשביל להוכיח את טענתי שאין מדובר בצירוף מקרים, ואם קיים אלוהים שיצר את הכל, מן הראוי שהוא כיוון את העולם לפי המתמטיקה, גייסתי חבר חדש, אותו כל תלמיד בערך מכיתה ו' מכיר: π.
אם תשאלו כל אדם על מספר לא שלם מפורסם שהוא מכיר, או אם תאמרו לו 3.14, הוא יאמר לכם כי מדובר בפאי. אותו קבוע חביב ומפורסם, סביר להניח שגם המפורסם ביותר.
ישנם קבועים מתמטיים רבים, כמו יחס הזהב ומספר אוילר (עליהם נרחיב בהמשך), אך ללא ספק, π הוא זה שכבש את לבבות רוב האנשים.
מיהו π וכיצד הוא פלש לחיינו?
ובכן, לפני שנים רבות, אפילו לפני ספירת הנוצרים, הייתה בעיה בלתי פתורה במתמטיקה: כיצד יש לחשב את היקף המעגל?
מעגל, כפי שכולם יודעים, ונוטים לבלבל עם העיגול, הינה צורה גיאומטרית, אשר הגדרתה הכללית היא: אוסף הנקודות [מקום גיאומטרי] שכולן נמצאות במרחק שווה מנקודה מסוימת הנקראת מרכז.
אם תיקחו חפץ עגול, תשרטטו את המעגל, תשתמשו בחוט ותקיפו את המעגל ותמדדו בסרגל, ולאחר מכן תחלקו באורך הקוטר (קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל ועובר דרך המרכז) תקבלו תוצאה ששואפת ל – π.
בעבר היה קשה לחשב את ערכו המדויק. המצרים העריכו אותו כ – 3.11, והם חישבו זאת בדרך מיוחדת אותה לא אפרט כאן.
לאחר שנים רבות שבהן בין היתר פותח המחשב, יכלו המדענים והמתמטיקאים לנשום לרווחה כאשר חושבו למעלה מ – 1.5 טריליון ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
אם כך, מה הופך את π לכל כך חשוב?
הוא שימושי בנושא הטריגונומטריה (יחסי צלעות וזוויות במשולש), הוא שימושי גם בנוסחאות שונות בהסתברות, טורים של פונקציות מסוימות, חישוב שטחים ונפחים ועוד,
אך אחד מהדברים הפלאיים ביותר ב – π הוא תכונה שנשמעת הזויה למדיי, ורוב האנשים אשר שומעים עליה טוענים כי הדבר וודאי איננו אמיתי.
פרופסור הנס-הנריק שטולום מאוניברסיטת קיימברידג', מומחה למדעי כדור הארץ, חישב את היחס שבין האורך הממשי של נהרות לבין אורכם מנקודת המוצא שלהם ועד לשפכם, כאשר הקו המחבר הוא קו ישר. היחס היה קצת גדול משלוש, ועל אף שהיה שונה מנהר לנהר, כולם שאפו לערך שבקירוב שווה ללא אחר מאשר π.
דבר זה נשמע הזוי למדיי, ולטענתם של רבים מהמאמינים יאמרו:"וזוהי עוד הוכחה לכך שאלוהים קיים – אם דבר כזה מופלא מתקיים, הרי ברור שיש מי שיכוון ויעשה זאת."
אני טוען שקיום דבר מדהים שכזה טוען לא פחות שאם יש אלוהים, הוא כתב את העולם במתמטיקה.
הראשון שהציע הסבר לבעיה זו היה אלברט איינשטיין, אותו פיזיקאי יהודי מפורסם, אשר טען כי פיתולי הנהר אינם מקריים, וזאת משום שהעיקולים מחזקים את הזרימה בשולי הנהר ובכך מתגברת השחיקה והעיקול יתחדד. השחיקה תמשיך עד שהנהר "יקרוס" לתוך עצמו ויטווה קיצור דרך, דבר אשר יחזיר את הנהר למצבו הקודם וימשיך הלאה.
משום שקישרתי עד כה כל אחת מתכונות המספרים המופלאות היישר אל ספר התנ"ך, אשר מקיים בסיס לזה לא פחות, אקשר גם כעת את π אל ספר הספרים:
בספר מלכים א', פרק ז' מתוארת בנייתו של בית המקדש הראשון על ידי שלמה המלך, ובין השורות מתחבאת ההוכחה לכך שכבר בתקופת שלמה, אשר מתוארכת כבערך במאה העשירית לפני ספירת הנוצרים, היה ידוע ערכו של π, לפחות בקירוב כלשהו.
בפסוק 23 מתוארת בניית הבריכה בבית המקדש של שלמה, כאשר בזמן מדידותיה מתגלה בין השורות אותו קבוע מפורסם: ויעש את הים [הבריכה.] מוצק עשר באמה [אורך של עשר אמות] משפתו עד שפתו עגול [התיאור המקראי של קוטר] סביב וחמש באמה קומתו [עומק הבריכה] וקוה [טעות "קרי וכתיב", כאשר התיקון הוא שיש לקרוא "קו" ולא "קוה"] שלושים באמה יסוב אותו סביב [היקף המעגל הינו שלושים אמות.]
לפי הנוסחא הידועה מזה שנים רבות למתמטיקאים, היקפו של מעגל נקבע על פי רדיוסו, והוא יחס קבוע: P=2πr, כאשר P הינו היקף המעגל ו – R הינו רדיוסו.
במילים אחרות, היקף המעגל הוא פעמיים הרדיוס כפול הקבוע השובב π.
אם נחשב את π לפי המקרא, נציב בנוסחא את הנתונים: 30=10*π [יש לציין כי 10 הינו הקוטר, ולא הרדיוס של המעגל, כפי שמתואר במקרא.]
לפיכך, π, לפי המקרא, הינו 3. קירוב די גס משום שהוא איננו מדויק כלל וכלל, ועם זאת, כפי שלמדנו, התנ"ך איננו מכיל מספרים שאינם שלמים, ולכן נטייתו היא לעגל את המספר. π אכן יעוגל כלפי מטה במקרה זה.
ועם זאת, ישנם שיטענו כי בכל זאת הפסוק מגלה קירוב די טוב של π: הגאון מווילנא טען כי ההסבר מתחבא בתוך שגיאת ה"קרי וכתיב", כאשר המילה קו נרשמה כ – קוה. אם נחשב את הערך הגימטרי של כל מילה נקבל את הערכים הבאים: קו = 106, בעוד שקוה הינו 111. היחס בין 111 ל – 106 הינו בערך 1.04716. על פניו, הדבר נשמע תמוה למדי, אך באופן פלאי, אם נחשב את היחס שבין π לבין 3, נגלה את היחס 1.04719. סטייה שכזאת בספרה החמישית אחרי הנקודה העשרונית הינה זעירה ביחס לאותה התקופה, דבר אשר ללא ספק מוכיח כי היה ידע קדום בנוגע לערכו של π, והוא מתואר בתנ"ך עצמו, גם אם הדבר מצריך פרשנות מחוכמת ומסובכת. ייתכן וזהו צירוף מקרים, אך אני טוען שהתנ"ך נכתב במתמטיקה לא פחות משנכתב בעברית.

אם נחזור לכותרת של הפרק "צירוף מקרים הינו הדרך של אלוהים להישאר אנונימי" ניתן יהיה לקשור זאת לתופעות המשונות שמצאנו בתנ"ך בנוגע לקיומם של מספרים מיוחדים ויוצאי דופן בין דפיו.
אם כך, צירופי מקרים אלו מוכיחים מעבר לכל ספק כי גם אם אלוהים קיים או לא, תורת העם היהודי לנצח תכיל בתוכה פלאות מתמטיות.