פינוק אנליטי למוח – מקבץ שישי פתרונות תרגילים נבחרים.

נתון מעגל שמרכזו על הישר y=x. הישר = x+y=2 חותך אותו בנקודות ההשקה שלו עם הצירים.
א. מצא את משוואת המעגל.
ב. מנקודה כלשהי יוצאים שני משיקים למעגל המשיקים לו בנקודות ההשקה עם הצירים. מצא נקודה זו.
ג. מצא את משוואת המעגל שמרכזה כמרכז המעגל הנתון, אך מעגל זה עובר דרך הנקודה שמצאת בסעיף ב'.

ראשית כל נסמן את הנתונים שלנו. רצוי ומומלץ בחום (של 600 מעלות צלסיוס) לשרטט את הנתונים. נשרטט מעגל שמרכזו על הישר y=x. אין צורך לשרטט את הישר, אלא להשתמש בנתון. מרכז המעגל הינו ב – (a,a). אם נתון שהישר y=-x+2 חותך אותו בנקודות ההשקה של המעגל עם הצירים, אזי שהמעגל משיק עם שני הצירים.
מכיוון שמרכז המעגל הינו (a,a), המעגל משיק לציר ה – X בנקודה שערך ה – X שלה זהה לשל מרכז המעגל, כלומר (a,0).
מכיוון שמרכז המעגל הינו (a,a), המעגל משיק לציר ה – Y בנקודה שערך ה – Y שלה זהה לשל מרכז המעגל, כלומר (o,a).
כעת, שתי הנקודות: (a,0) ו (o,a) נמצאות על הישר y=-x+2, ולכן בקלות יהיה ניתן למצוא את חיתוך הישר עם הצירים וכך נמצא את נקודות ההשקה של המעגל:
נציב:
(o,a) במשוואה ונגלה:
a=-x*0+2.
a=2.
כלומר, נקודת ההשקה של המעגל עם ציר ה – X הינו (0,2).
אם כך, מרכז המעגל הינו (2,2), והמרחק של מרכז המעגל מנקודה (0,2) הינה 2, ולכן משוואת המעגל היא:
4 = 2^(x-2)^2 + (y-2).

כעת נעבור לסעיף ב'.
על מנת למצוא את הנקודה ממנה יוצאים שני המשיקים, נגלה את משוואת המשיקים.
ציר ה – X וציר ה – Y שניהם המשיקים, והם נפגשים בראשית הצירים, שהיא הנקודה אותה אנחנו מחפשים, ולכן התשובה הינה (0,0).

וסעיף ג': אם מרכז המעגל הינו (2,2) והוא עובר דרך נקודה (0,0), נמצא את מרחק הנקודות זו מזו בשביל למצוא את רדיוס המעגל.
d^2 = (2-0)^2 + (2-0)^2.
d^2=4+4
d^2=8
ולכן משוואת המעגל תהיה:
8 = 2^(x-2)^2 + (y-2).

וגמרנו לפתור את השאלה.

כעת נעבור לשאלה שנייה שהיא קצת יותר טריקית ויותר יצירתית.

ישנה הדרך הטכנית והמשעממת, שאותה אני מציג רק בשביל הידע הכללי.
קודקודיו של משולש ABC הם: (5,3)A (2,7)B (-1,1)C. מצא נקודה D שתיצור מקבילית ACDB.

אם ישנן שלוש נקודות של משולש, וצריכים נקודה רביעית ליצירת מקבילית, עלינו לשים לב היטב היכן למקם את הנקודה.
אם מדובר במקבילית ACDB, אזי שהישרים המקבילים הינם: AC||BD וגם CD||AB.

אם כך, נמצא את שיפוע AC ונשווה אותו לשיפוע BD.

את שיפוע AC נמצא על פי הנוסחא:
(M=(y2-y1):(x2-x1.
(m=(7-3):(2-5.
(m=4:(-2
m=-2.
לכן, גם שיפוע BD יהיה 2-.
נציב אותו בנוסחא:
2- = (y-1)(x+1) (הערה: רשמתי x+1 במקום לרשום (x-(-1, שזה כמובן x+1.)

נעשה אותו הדבר לשיפוע האחר (CD עם AB.)
ונקבל שתי משוואות עם שני נעלמים, אותה יש לפתור. אין לי את העצבים לפתור את המשוואה ולכתוב אותה כאן ולכן רק ארשום את התשובה: נקודה D הינה (3-,2).

וכעת נפתור בדרך המגניבה והקצרה והמדליקה:
אם יש לנו את ABC, נשרטט את המקבילית יחד עם D. כעת, נעביר אלכסונים.
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן ניתן לומר שמפגש האלכסונים (נקרא לנקודה זו נקודה O.) הינה מרכז BC.
כדי למצוא את מרכז BD נשתמש בנוסחא:
סכום ה – Xים של נקודות B ו – C חלקי 2 שווה ל – X של נקודה O.
סכום ה – Yים של נקודות B ו – C חלקי 2 שווה ל – Y של נקודה O.
וכעת נגלה שמרכז הקטע BC הינו (2,2).
מכיוון ש – O היא מרכז AD, ניתן להשתמש בשיטת הדילוגים:
כדי להגיע מ – A ל – O הוספנו 0 ל – X ולכן ה – X של נקודה D הינו 2.
כדי להגיע מ – A ל – O חיסרנו 5 מ – Y, ולכן ה – Y של נקודה D הינו 3-.
וכך הגענו לערך הנקודה: (3-,2).